Interaktiv: Berechnung der Ableitung mit dem Differentialquotienten

WORUM GEHT’S?

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist nichts anderes die Steigung der Tangenten an die Funktion in diesem Punkt und kann daher auch als “lokale Änderungsrate” der Funktion aufgefasst werden. Das ist ziemlich bekannt. Wie aber berechnet man überhaupt die Tangente und damit ihre Steigung mathematisch präzise? Das geht nur über Folgen von “Hilfsgeraden” und ihre Grenzwerte. Diese Erkenntnis und das Vorgehen können es an Wichtigkeit locker mit der Erfindung des Computers aufnehmen.

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HARTE UND TROCKENE ANLEITUNG

Wähle mit dem blauen Schieberegler den Punkt a auf der x-Achse, an dem die Ableitung unserer Beispielfunktion (f(x)=x^2) berechnet werden soll. Die Grafik illustriert die Ermittlung der Ableitung als Grenzwert von Folgen aus Sekantensteigungen (=Quotient aus vertikaler und horizontaler Kathete des gelben Steigungsdreiecks). Dieser Grenzwert wird auch Differentialquotient genannt. Mit dem gelben Schieberegler kannst Du den Wert h wählen, der den Punkt (a+h,f(a+h)) festlegt, welcher neben dem Basispunkt (a,f(a)) den zweiten Punkt definiert, durch den die Sekanten (orangefarbene Geraden) verlaufen. Die gelb dargestellten Berechnungen zeigen, wie die Ableitung letztlich über den Begriff des Grenzwertes einer Folge konkret berechnet wird.

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