Interaktiv: Ableitung der Umkehrfunktion

Original- und Umkehrfunktionen sind wie Gift und Gegengift. Wenn man sie beide anwendet, ist alles wie vorher. Wie aber verhalten sich ihre Ableitungen zueinander? Die Antwort ist einfach, wenn man weiß, dass die Schaubilder von Gift und Gegengift, äh, Original und Umkehrfunktion Spiegelbilder voneinander sind. An der ersten Winkelhalbierenden. Dann nämlich sind auch die Tangenten und deren Steigungsdreiecke Spiegelbilder, bei denen horizontal und vertikal vertauscht wird. Das ist der Schlüssel zur Lösung: Zähler und Nenner der Steigungen (Ableitungen!) sind vertauscht – klug gesprochen: Kehrwert. Bäm.

Differentiating Inverse Functions

Bewege den Schieberegler, um für verschiedene Werte a auf der x-Achse den Zusammenhang zwischen der Ableitung der Logarithmus-Funktion (blaue Kurve) und ihrer Umkehrfunktion, der Exponentialfunktion (orangefarbene Kurve), zu visualisieren. Der entscheidende Punkt ist (alles andere kann gedanklich ausgeblendet werden), dass das orangefarbene Steigungsdreieck der Tangenten an die Umkehrfunktion das Spiegelbild des blauen Steigungsdreiecks entlang der 1. Winkelhalbierenden ist. Dadurch werden beim Übergang vom blauen auf das orangefarbene Dreieck die beiden Katheten vertauscht, und man erhält als Ableitung der Umkehrfunktion am entsprechenden Spiegelpunkt von a den Kehrwert der Ableitung der originalen Funktion (= Zähler und Nenner im Quotient der beiden Kathetenlängen im Steigungsdreieck werden vertauscht).